Téma : Teorie pravděpodobnosti → transformace náhodných veličin a vektorů → věta o pravděpodobnostním rozdělení náhodné veličiny

Předmět : 4ST430

Obtížnost : Lehké příklady

Ukažte, že má-li náhodná veličina X Paretovo rozdělení s hustotou $\mathit{f}(\mathit{x})=\frac{\mathit{\alpha\theta}^\mathit{\alpha}}{\mathit{x}^{\mathit{\alpha}+1}},\:\mathit{x}>\mathit{\theta} (\mathit{\alpha}>0)$ má náhodná veličina $\mathit{Y}=\ln\left(\frac{\mathit{X}}{{\mathit{\theta}}}\right)$ exponenciální rozdělení a parametrem $1/\alpha$

Výsledek
$y=\ln\left(\frac{x}{\theta}\right)\rightarrow x=e^{y+\ln\theta}=\theta e^{y},dx=\theta e^ydy\rightarrow$
$g(y)=\frac{\alpha\theta^{\alpha}}{(\theta e^y)^{\alpha+1}}\theta e^y=\alpha e^{-\alpha y},\>y>0$

Postup