Téma : Teorie pravděpodobnosti → Rozdělení náhodné veličiny → Speciální spojitá rozdělení

Předmět : 4ST430

Obtížnost : Středně těžké příklady

Uvažujte nezávislé náhodné veličiny X1, X2 a X3, pro které $X_1\sim LN(1, 1), X_2\sim LN(0,3)\: a\: X_3\sim LN(0,2).$ Najděte rozdělení geometrického průměru těchto veličin.

Výsledky:

$LN\left (\frac{1}{3};\frac{2}{3} \right )$

Postup:

$\sqrt[3]{X_1X_2X_3}\rightarrow \ln(\sqrt[3]{X_1X_2X_3})=\frac{1}{3}(lnX_1+lnX_2+lnX_3)$

$\ln X_1\sim N(1, 1), \ln X_2\sim N(0,3),\ln X_3\sim N(0,2)$

$\ln\left ( \sqrt[3]{X_1X_2X_3}\right )\sim N(\frac{1}{3}+0+0;\frac{1}{9}+\frac{3}{9}+\frac{2}{9})=N\left (\frac{1}{3};\frac{2}{3} \right )$

tedy geometrický průměr má $LN\left (\frac{1}{3};\frac{2}{3} \right )$