Téma : Teorie pravděpodobnosti → rozdělení náhodné veličiny → speciální spojitá rozdělení

Předmět : 4ST430

Obtížnost : Lehké příklady

Předpokládejte, že nezávisle na sobě pracuje 10 přístrojů s dobou do poruchy (ve dnech provozu) popsanou gama rozdělením s parametry m=2 a δ=50.

i) Určete rozdělení (jméno a parametry) celkové doby, po kterou budou přístroje fungovat a rozdělení průměrné doby do poruchy. Pro obě veličiny určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku.

ii) Je větší šikmost průměrné nebo celkové doby?

iii) Pro dobu do poruchy jednoho přístroje určete střední hodnotu a modus. Pokuste se vysvětlit, co tyto hodnoty o sledované době říkají.

Výsledek

i)

$M\sim \mathit{\Gamma}(20;50)\rightarrow\mathit{E}(\mathit{M})=1000;\mathit{D}(\mathit{M})=50\sqrt{20}$ $\bar{X}\sim \mathit{\Gamma}(20;5)\rightarrow\mathit{E}(\bar{X})=100;\mathit{D}(\bar{X})=5\sqrt{20}$

ii) stejná

iii) 100; 50; 83,9 dne

Postup

i)

$\mathit{M}=\sum_{\mathit{i}=1}^{10}\mathit{X_i}\sim\mathit{\Gamma}(10\cdot2;50)\rightarrow\mathit{E}(\mathit{M})=20\cdot50=1000;\mathit{D}(\mathit{M})=20\cdot50^2=50\sqrt{20}$ $\bar{X}\sim\mathit{\Gamma}(20;50/10)\rightarrow\mathit{E}(\bar{X})=20\cdot5=100;\:\mathit{D}(\bar{X})=20\cdot5^2=5\sqrt{20}$

ii)

koeficient šikmosti $=\frac{2}{\mathit{m}}=\frac{2}{20}=0,1$

iii)

$\mathit{E}(\mathit{X})=2\cdot50=100$ dnů
modus $=1\cdot50=50$ dnů
medián numericky $=83,9$ dne