Téma : Teorie pravděpodobnosti → Rozdělení náhodného vektoru → vícerozměrné normální rozdělení

Předmět : 4ST430

Obtížnost : Lehké příklady

Náhodný vektor $\mathbf{\mathit{X}}=(\mathit{X}_1,\mathit{X}_2)$ má normální rozdělení s momentovou vytvořující funkci $\mathit{m}_X(\mathbf{z})=\exp(-3\mathit{z}_2+0,5\mathit{z}_1^2+2\mathit{z}_2^2-\mathit{z}_1\mathit{z}_2).$

Určete hodnoty

$\mathit{E}(\mathbf{X}),\:\mathbf{\sum}_X\:$a$\:\mathit{E}(\mathit{X}_1\mathit{X}_2).$

Výsledek

$E(\mathbf{X})={{0}\choose{-3}},\:\mathbf{\sum}_X=\left(\begin{array}{cc}1&-1\\-1&4\end{array}\right),\: \mathit{E}(\mathit{X}_1\mathit{X}_2)=\mathit{\sigma}_{12}+\mathit{E}(\mathit{X}_1)\mathit{E}(\mathit{X}_2)=-1$

Postup

$\mathit{m}_{\mathbf{X}}(\mathbf{z})=\mathit{m}_{\mathbf{X}}(\mathit{z}_1\mathit{z}_2)=\exp\Big\{ \mathit{z}_1\mathit{\mu}_1+\mathit{z}_2\mathit{\mu}_2+\frac{1}{2}(\mathit{z}_1^2\mathit{\sigma}_1^2+\mathit{z}_2^2\mathit{\sigma}_2^2+2\mathit{z}_1\mathit{z}_2\mathit{\sigma}_{12}) \Big\}$ $\mathit{m}_{\mathbf{X}}(\mathbf{z})=\exp\left(-3\mathit{z}_2+\frac{1}{2}(\mathit{z}_1^2+4\mathit{z}^2_2+2(-1)\mathit{z}_1\mathit{z}_2) \right )\rightarrow$ $\mathit{\mu}_1=0,\;\mathit{\mu}_2=-3,\:\mathit{\sigma}_1^2=1,\;\mathit{\sigma}_2^2=4,\;\mathit{\sigma}_{12}=-1\rightarrow$ $\mathit{E}(\mathbf{X})={{0}\choose{-3}},\;\mathbf{\sum}_{\mathbf{X}}=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&4\end{matrix} \right ),\;\mathit{E}(\mathit{X}_1\mathit{X}_2)=\mathit{\sigma}_{12}+\mathit{E}(\mathit{X}_1)\mathit{E}(\mathit{X}_2)=-1$