Téma : Teorie pravděpodobnosti → Rozdělení náhodného vektoru → vícerozměrné normální rozdělení

Předmět : 4ST430, 4ST214, 4ST220

Obtížnost : Lehké příklady

Ve firmě chtějí prozkoumat vztah mezi věkem v letech (X) a délkou pracovní neschopnosti ve dnech (Y). Předpokládejte, že náhodný vektor

$$\begin{pmatrix} X\\ Y \end{pmatrix}$$ má dvourozměrné normální rozdělení s parametry $$\boldsymbol{\mathrm{\mu}}= \begin{pmatrix} 35\\ 10 \end{pmatrix}$$ a kovariační maticí $$\boldsymbol{\Sigma }=\begin{pmatrix} 25&3 \\ 3 & 16 \end{pmatrix}.$$

a) Jaké je rozdělení délky pracovní neschopnosti a jaké rozdělení má tato délka pro zaměstnance ve věku 40 let?

b) Najděte pravděpodobnost, že doba neschopnosti bude delší než 25 dní a pravděpodobnost, že doba neschopnosti 40-letého zaměstnance bude delší než 25 dní.

Výsledek

a) $ N(10;16),\, N(10,6;15,64) $

b) $0,894, \,0,922$

Postup

a)

$\textit{Y}\sim N(10;16),\, \rho _{XY}={\frac{3}{\sqrt{25.16}}}=0,15$

$E(\textit{Y}\mid X=40)= 10+0,15\frac{4}{5}(40-35)=10,6$

$D(\textit{Y}\mid X=40)= 16\, (1-0,15^{2})=15,64$

$\textit{Y}\mid X=40\sim N(10,6;15,64)$

b)

$P(\textit{Y}\geq5)=1-\Phi \left ( \frac{5-10}{4} \right )=0,894$

$P(\textit{Y}\geq5\mid X=40)=1-\Phi \left ( \frac{5-10,6}{\sqrt{15,64}} \right )=0,922$