Téma : Teorie pravděpodobnosti → rozdělení náhodného vektoru → popis vícerozměrného pravděpodobnostního rozdělení

Předmět : 4ST430

Obtížnost : Středně těžké příklady

Náhodný vektor $\mathbf{X}=(\mathit{X}_1,\:\mathit{X}_2)'$ má dvojrozměrné rozdělení s momentovou vytvořující funkci

$\mathit{m}_{\mathbf{X}}(\mathbf{z})=\exp(-3\mathit{z}_2+0,5\mathit{z}_1^2+2\mathit{z}^2_2+\mathit{z}_1\mathit{z}_2).$

Určete

$\mathit{E}(\mathbf{X}),\:\mathbf{\sum}_X\:$a$\:\mathit{E}(\mathit{X}_1\mathit{X}_2).$

Výsledek

$\mathit{E}(\mathbf{X})={{0}\choose{-3}},\: \mathit{E}(\mathit{X}_1\mathit{X}_2)=-1\;\mathbf{\sum}_X=\left( \begin{array}{cc} 1&-1 \\ -1&4 \end{array} \right)$

Postup

$\mathit{m}_{\mathbf{X}}(\mathbf{z})=\exp(-3\mathit{z}_2+0,5\mathit{z}_1^2+2\mathit{z}^2_2+\mathit{z}_1\mathit{z}_2)\rightarrow$ $\frac{\mathit{\partial m}_x(\mathbf{z})}{\mathit{\partial}\mathit{z}_1}=\exp(-3\mathit{z}_2+0,5\mathit{z}_1^2+2\mathit{z}^2_2+\mathit{z}_1\mathit{z}_2)\cdot(\mathit{z}_1-\mathit{z}_2);\;\frac{\mathit{\partial m}_\mathbf{X}(0,0)}{\mathit{\partial}\mathit{z}_1}=0=\mathit{E}(\mathit{X}_1)$ $\frac{\mathit{\partial}^2\mathit{m}_x(\mathbf{z})}{\mathit{\partial}^2\mathit{z}_1}=\exp(-3\mathit{z}_2+0,5\mathit{z}_1^2+2\mathit{z}^2_2+\mathit{z}_1\mathit{z}_2)\cdot(\mathit{z}_1-\mathit{z}_2)^2+\exp(-3\mathit{z}_2+0,5\mathit{z}_1^2+2\mathit{z}^2_2+\mathit{z}_1\mathit{z}_2)$ $\frac{\mathit{\partial}^2\mathit{m}_\mathbf{X}(0,0)}{\mathit{\partial}^2\mathit{z}_1}=1=\mathit{E}(\mathit{X}^2_1)=\mathit{D}(\mathit{X}_1)$ $\frac{\mathit{\partial m}_x(\mathbf{z})}{\mathit{\partial}\mathit{z}_2}=\exp(-3\mathit{z}_2+0,5\mathit{z}_1^2+2\mathit{z}^2_2-\mathit{z}_1\mathit{z}_2)\cdot(-3+4\mathit{z}_2-\mathit{z}_1);\;\frac{\mathit{\partial m}_\mathbf{X}(0,0)}{\mathit{\partial}\mathit{z}_1}=-3=E(\mathit{X}_2)$ $\frac{\mathit{\partial}^2\mathit{m}_x(\mathbf{z})}{\mathit{\partial}^2\mathit{z}_2}=\exp(-3\mathit{z}_2+0,5\mathit{z}_1^2+2\mathit{z}^2_2+\mathit{z}_1\mathit{z}_2)\cdot(-3+4\mathit{z}_2-\mathit{z}_1)^2+4\exp(-3\mathit{z}_2+0,5\mathit{z}_1^2+2\mathit{z}^2_2+\mathit{z}_1\mathit{z}_2)$ $\frac{\mathit{\partial}^2\mathit{m}_\mathbf{X}(0,0)}{\mathit{\partial}^2\mathit{z}_2}=13=\mathit{E}(\mathit{X}^2_2)\rightarrow\mathit{D}(\mathit{X}_2)=13-9=4$ $ \frac{\mathit{\partial m}_x(\mathbf{z})}{\mathit{\partial}\mathit{z}_2\mathit{\partial}\mathit{z}_1}=\exp(-3\mathit{z}_2+0,5\mathit{z}_1^2+2\mathit{z}^2_2-\mathit{z}_1\mathit{z}_2)\cdot(-3+4\mathit{z}_2-\mathit{z}_1)(z_1-z_2)+(-1)\exp(-3z_2+0,5z_1^2+2z^2_2-z_1z_2)$ $\frac{\mathit{\partial}^2\mathit{m}_\mathbf{X}(0,0)}{\mathit{\partial}\mathit{z}_2\mathit{\partial}\mathit{z}_1}=-1=\mathit{E}(\mathit{X}_1\mathit{X}_2)=\mathit{\sigma}(\mathit{X}_1\mathit{X}_2)=-1$