Téma : Teorie pravděpodobnosti → Rozdělení náhodného vektoru → charakteristiky náhodného vektoru

Předmět : 4ST430

Obtížnost : Středně těžké příklady

Kovarianční matice náhodného vektoru má charakteristická čísla 2, 3 a 6 a charakteristické vektory

$$\textbf{v}_{1}=\begin{pmatrix} 2\\ 0\\ -2 \end{pmatrix}, \textbf{v}_{2}=\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ -1 \end{pmatrix}, \textbf{v}_{3}=\begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 2 \end{pmatrix}. $$

a) Kolik složek má náhodný vektor?

b) Jsou ortonormální? Pokud ne, upravte je.

Výsledek

a) 3

b) ne; $$\sqrt{8}\,\begin{pmatrix} 2\\ 0\\ -2 \end{pmatrix}, \sqrt{3}\,\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ -1 \end{pmatrix}, \sqrt{24} \, \begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 2 \end{pmatrix}$$

Postup

a) 3

b)

Ortogonální: $${\textbf{v}_{1}}'\textbf{v}_{2}=2(-1)+0(-1)+(-2)(-1)=0$$ obdobně $${\textbf{v}_{1}}'\textbf{v}_{3}={\textbf{v}_{2}}'\textbf{v}_{3}=0$$

Délka: $$\left | \textbf{v}_{1} \right |={\textbf{v}_{1}}'\textbf{v}_{1}=\sqrt{2^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{8}$$ $$\left | \textbf{v}_{2} \right |={\textbf{v}_{2}}'\textbf{v}_{2}=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3}$$ $$\left | \textbf{v}_{3} \right |={\textbf{v}_{3}}'\textbf{v}_{3}=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{24}$$

Oprava: $$\sqrt{8}\,\begin{pmatrix} 2\\ 0\\ -2 \end{pmatrix}, \sqrt{3}\,\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ -1 \end{pmatrix}, \sqrt{24} \, \begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 2 \end{pmatrix}$$