Téma : Teorie pravděpodobnosti → Definice, vlastnosti a výpočet pravděpodobnosti → Operace s pravděpodobnostmi

Předmět : 4ST214, 4ST220

Obtížnost : Středně těžké příklady

Dětská hra zvaná domino je soubor kostek, z nichž je každá kostka rozdělená na dvě políčka a v každém z políček jsou vyznačené body: žádný, jeden, dva, tři,… až osm. Každá kostka je v souboru jedné hry pouze jednou. Jaká je pravděpodobnost, že když náhodně výběrem bez vracení vybereme čtyři kostky bude mezi nimi aspoň jedna kostka se třemi body v aspoň jednom políčku?

Zdroj: Arltová, M. − Bílková, D. − Jarošová, E. − Pourová, Z.: Příklady k předmětu statistika A. Praha, VŠE 2001.

Výsledek

0,605

Postup

A = (mezi čtyřmi vybranými kostkami bude aspoň jedna kostka se třemi body v aspoň jednom políčku)

B1 = (první vybraná kostka nebude mít tři body v žádném políčku)

B2 = (druhá vybraná kostka nebude mít tři body v žádném políčku)

B3 = (třetí vybraná kostka nebude mít tři body v žádném políčku)

B4 = (čtvrtá vybraná kostka nebude mít tři body v žádném políčku)

Celkový počet kostek jedné hry $\binom{9+2-1}{2}=\binom{10}{2}=45$

Počet kostek se třemi body v alespoň jednom políčku: 9

Počet kostek, které nemají tří body v žádném políčku: 45-9 = 36

$\rightarrow P(B_{1}) = \frac{36}{45} =\frac{4}{5}$

$\textrm{vyber bez vraceni} \rightarrow P(B_{2}\mid P(B_{1})=\frac{35}{44};\: P(B_{3} \mid B_{1}\cap B_{2} )=\frac{34}{43}$

$P(B_{4} \mid B_{1} \cap B_{2} \cap B_{3} )=\frac{33}{42}\frac{11}{14}$

$\bar{A}=B_{1}\cap B_{2}\cap B_{3}\cap B_{4}\rightarrow P(\bar{A})=P(B_{1}\cap B_{2}\cap B_{3}\cap B_{4})=\frac{4}{5}.\frac{35}{44}.\frac{34}{43}.\frac{11}{14}=0,395$

$P(A)=1-P(\bar{A})=1-0,395=0,605$