Téma : Teorie pravděpodobnosti → Definice pravděpodobnosti → Klasická definice pravděpodobnosti

Předmět : 4ST214, 4ST220, 4ST111

Obtížnost : Středně těžké příklady

Čtyři muži A, B, C a D si po příchodu do místnosti odložili své klobouky na věšák. Když odcházeli, každý si vzal náhodně jeden klobouk, nasadil si jej na hlavu a odešel. Vypočtěte pravděpodobnost, že aspoň jeden muž má svůj klobouk.

Výsledek

0,626

Postup

A = (muž A bude mít svůj klobouk)

B = (muž B bude mít svůj klobouk)

C = (muž C bude mít svůj klobouk)

D = (muž D bude mít svůj klobouk)

F = (aspoň jeden muž bude mít svůj klobouk)

Celkový počet možností, kterými lze čtyři klobouky uspořádat na čtyřech místech: 4!= 24

$P(A)=\frac{3!}{24}=\frac{6}{24}=0,25\rightarrow P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=0,25$

Počet možností, kdy ze čtyř mužů bude mít právě:

jeden muž svůj klobouk: $\binom{4}{1}=4$

dva muži své klobouky: $\binom{4}{2}=6$

$P(A\cap B)=P(A\cap C)P(A\cap D)=P(B\cap C)=P(B\cap D)=P(C\cap D)=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$

tři muži své klobouky: $\binom{4}{3}=4$

$P(A\cap B\cap C) = P(A\cap B\cap D) = P(A\cap C\cap D) = P(B\cap C\cap D) = \frac{1}{24}$

čtyři muži své klobouky:

$P(A \cap B \cap C \cap D) = \frac{1}{24}$

$P(F)=P(A\cup B\cup C\cup D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(A\cap D)-P(B\cap C)-P(B\cap D)-P(C\cap D)+P(A\cap B\cap C)+P(A\cap B\cap D)+P(A\cap C\cap D)+P(B\cap C\cap D)-P(A\cap B\cap C\cap D)=\binom{4}{1}P(A)-\binom{4}{2}P(A\cap B)+\binom{4}{3}P(A\cap B\cap C)-\binom{4}{4}P(A\cap B\cap C\cap D)=4\frac{1}{4}-6\frac{1}{12}+4\frac{1}{24}-1\frac{1}{24}=0,625$