Téma : Teorie pravděpodobnosti → Definice pravděpodobnosti → Geometrická definice pravděpodobnosti

Předmět : 4ST214

Obtížnost : Těžké příklady

Vypočítejte pravděpodobnost toho, že ze tří náhodně zvolených intervalů, z nichž každý má délku nejvýše L, lze sestrojit trojúhelník. Předpokládáme, že pravděpodobnost položení bodu v prostorovém útvaru je úměrná objemu tohoto útvaru a nezávisí na jeho umístění a tvaru.

Výsledek

0,500

Postup

A = (ze tří náhodně zvolených intervalů, z nichž každý má délku nejvýše L, lze sestrojit trojúhelník)

Ze tří intervalů lze sestrojit trojúhelník právě tehdy, když součet délek dvou intervalů je větší, než délka třetího intervalu. Odtud

$x+y> z\: \cap \: x+z> y\: \cap \: y+z> x$

Dohromady (průnik) - vzniká těleso uvnitř krychle

Objem tělesa

$V_{\textrm{tel}} = V_{\textrm{krychle}} - 3.V_{\textrm{jehlanu}}=L^{2}-3.\frac{\frac{L.L}{2}.L}{3}=\frac{L^{3}}{2}$

$\rightarrow P(A) = \frac{V(A)}{V(E)}=\frac{\frac{L^{3}}{2}}{L^{3}}=\frac{1}{2}=0,5$