Téma : Teorie pravděpodobnosti → Definice pravděpodobnosti → Geometrická definice pravděpodobnosti

Předmět : 4ST214

Obtížnost : Středně těžké příklady

Z kruhu o poloměru R náhodně vybereme bod. Najděte pravděpodobnost, že bod bude vybrán z kruhu vepsaného:

a) čtverce

b) rovnostranného trojúhelníka.

Výsledek

a) $\frac{2}{\pi}$

b) $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}$

Postup

A = (bod bude vybrán z kruhu vepsaného čtverce)

B = (bod bude vybrán z kruhu vepsaného rovnostranného trojúhelníka)

a)

$\textrm{obsah ctverce=} a^{2} = R^{2}+R^{2}=2R^{2}$

$P(A)=\frac{V(A)}{V(E)}=\frac{2R^{2}}{\pi R^{2}}=\frac{2}{\pi}$

b)

$\left ( \frac{a}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{3}{2}R \right )^{2}=a^{2}\rightarrow a=R \sqrt3$

$\rightarrow \textrm{obsah trojuhelnika} = \frac{z.v}{2}=\frac{R \sqrt3 . \frac{3}{2}R}{2}=\frac{3 \sqrt3 R^{2}}{4}$

$\rightarrow P(B)=\frac{V(B)}{V(E)}=\frac{\frac{3 \sqrt3 R^{2}}{4}}{\pi R^{2}}=\frac{3 \sqrt 3}{4 \pi}$