Téma : Matematická statistika → testování hypotéz → testy hypotéz o jednom parametru

Předmět : 4ST312

Obtížnost : Středně těžké příklady

Problém Montyho Halla 9. září 1990 uveřejnila Marilyn Savantová ve svém článku časopisu Parade velice zajímavou pravděpodobnostní hádanku. Tato hádanka nesla název po moderátorovi americké televizní show Let´s make a deal, Monty Hallovi. Samotná hádanka spočívá v následujícím. Představme si troje zavřené dveře. Za jedněmi dveřmi se skrývá luxusní automobil Lincoln Continental. Naším cílem je uhodnout, které z těchto dveří automobil skrývají. Postup hry je následující. Vybereme si jedny ze tří dveří, řekněme dveře č.1. Moderátor, který dobře ví, kde se automobil nachází, následně otevře nějaké další dveře (například dveře č.3) a ukáže nám, že se za nimi také žádný automobil nenachází. (V samotné show za nimi byla ukryta živá koza). Následně dostaneme na výběr. Buď budeme trvat na původní volbě (dveře č.1), nebo volbu změníme (dveře č.2). V případě, že za dveřmi objevíme automobil, vyhrajeme ho. V případě, že ne, nevyhrajeme nic. Otázka tedy zní: Mám trvat na svém původním rozhodnutí, nebo volbu změnit?

Výsledek

Pro soutěžícího je lepší změnit dosavadní volbu na druhou alternativu.

Postup

Většina lidí se domnívá, že pravděpodobnost obou možností musí být stejná. Marilyn Savatová však ve svém článku toto tvrzení zpochybnila. Její sloupek vyvolal bouřlivé polemiky a do redakce přišli stovky nesouhlasných dopisů. Dokonce i matematici z prestižních vysokých škol jakými jsou například Floridská, Michigenská nebo Georgetownská univerzita vyjadřovali nesouhlas s tvrzením novinářky. Tvrdili, že její logika je zmatená a že je úplně vedle. V reakci na velké množství dopisů zveřejnila Savantová v redakci výzvu vyučujícím matematiky, aby si hru vyzkoušeli při hodině jako experiment. Požádala je, aby se svojí třídou zkusili ve 200 pokusech rozhodnutí změnit a ve 200 zůstat u prvního rozhodnutí. Po nějakém čase se opravdu empiricky prokázalo, že paní Savantová měla ve svém článku pravdu. Jednotlivé pokusy, provedené vyučujícími, tomu jen dosvědčovaly. Problém Montyho Halla zasáhl stejně tak matematiky, učitele, studenty, tak i širokou veřejnost. V čem však spočívá podstata tohoto problému?

Automobil je umístěn za libovolnými dveřmi se stejnou pravděpodobností 1/3.

$P(1)=P(2)=P(3)=\frac{1}{3}$.

Vybrali jsme si dveře č.2. Moderátor nikdy neotevře dveře, za kterými se automobil ve skutečnosti nachází a námi zvolené dveře. Monty Hall se tedy rozhodne otevřít dveře č.1. Nyní máme na vybranou ze dvou možností. Zůstaneme u svého prvního rozhodnutí (druhé dveře), nebo ho změníme (dveře č.3)? Důležité pro pochopení celého problému je následující. To, že moderátor otevřel první dveře, za kterými se nic neskrývalo, v sobě zahrnuje předpoklad, že nikdy nemůže otevřít vítězné dveře a samozřejmě dveře, které jsme označili my. Pokazil by tím soutěž a nejspíš by následně dostal výpověď od produkce. Z výše uvedené podmínky, tedy vyplývá:

P(dveře č.1 jsou prázdné) = P(dveře č.1 jsou prázdné | vítězné jsou dveře č.1).P(vítězné jsou dveře č.1) + P(dveře č.1 jsou prázdné | vítězné jsou dveře č.2).P(vítězné jsou dveře č.2) + P(dveře č.1 jsou prázdné | vítězné jsou dveře č.3).P(vítězné jsou dveře č.3) =$0.\frac{1}{3} + \frac{1}{2}.\frac{1}{3} + 1.\frac{1}{3} = \frac{1}{2} $

Nyní využijeme Bayesův vzorec k výpočtu posteriorní pravděpodobnosti

Všimněme si, že nenastala žádná změna proti apriorní pravděpodobnosti P(2). Pro druhé dveře tedy nemá Monty Hallova informace žádnou hodnotu. Má ji však pro dveře třetí, jelikož pravděpodobnost, že jsou výherní je doplněk do jedné

$P(3) = 1 - P(2) = \frac{2}{3}$

V tomto příkladu vidíme, že je pro soutěžícího lepší změnit dosavadní volbu (dveře č.2) na druhou alternativu (dveře č.3).