Téma : Matematická statistika → Náhodný výběr z pravděpodobnostního rozdělení → Výběrová rozdělení

Předmět : 4ST215, 4ST220, 4ST430

Obtížnost : Lehké příklady

Počet zákazníků v provozovně za hodinu lze popsat Poissonovým rozdělením se střední hodnotou 6 zákazníků. Bylo náhodně vybráno 40 hodinových intervalů v průběhu jednoho čtvrtletí a zjištěn počet zákazníků.

a) Jedná se náhodný výběr z rozdělení? Pokud ano, z jakého rozdělení a o jakém rozsahu?

b) Jaké rozdělení má celkový počet zákazníků ve vybraných hodinách (úhrn)?

c) Určete pravděpodobnost, že tento celkový počet zákazníků je aspoň 250 osob. Hodnotu pravděpodobnosti určete z Poissonova rozdělení a pomocí centrální limitní věty (s opravou na spojitost i bez ní).

d) Jakým rozdělením lze pomocí centrální limitní věty aproximovat rozdělení průměrného počtu zákazníků za jednu hodinu?

e) Pomocí této aproximace určete pravděpodobnost, že průměrná hodnota bude mezi pěti a sedmi osobami (včetně). Hodnotu určete s použitím opravy na spojitost a bez ní.

Výsledek

a) Náhodný výběr o rozsahu 40 z rozdělení $Po(6)$

b) $N(240,240)$

c) $0,7529\,;\, 0,7407\,;\, 0,7510$

d) $N\left ( 6;\frac{6}{40} \right )$

e)$ 0,8624\,;\, 0,8663\,; \,0,8742$

Postup

a) Náhodný výběr o rozsahu 40 z rozdělení $Po(6)$

b) $X \sim Po(6),\, n=40\rightarrow M \sim Po(240)\approx N(240,240)$

c)

$Po(240):\, P(M\leq 250)=F_{Po(240)}(250)=0,7529$

$N(240,240):\, P(M\leq 250)=F_{N(240,240)}(250)=0,7407$

$P(M\leq 250)=F_{N(240,240)}(250,5)=0,7510$

d)

$X \sim Po(6), \, n=40 \rightarrow \bar{X}\approx N\left ( 6;\, \frac{6}{40} \right )$

e)

$\bar{X} \approx N\left ( 6;\, \frac{6}{40} \right )\rightarrow P(5,5\leq\bar{X}\leq6,7 )=F_{Po(240)}(268)-F_{Po(240)}(220)=0,8624$

$P(5,5\leq\bar{X}\leq6,7 )=F_{N(6;\: 0,15)}(6,7)-F_{N(6;\: 0,15)}(5,5)=0,8663$

$P(5,5-\frac{1}{80}\leq\bar{X}\leq6,7+\frac{1}{80} )=F_{N(6;\: 0,15)}(6,7125)-F_{N(6;\: 0,15)}(5,4875)=0,8742$