Téma : Matematická statistika → Náhodný výběr z pravděpodobnostního rozdělení → Výběrová rozdělení

Předmět : 4ST215, 4ST220, 4ST430

Obtížnost : Lehké příklady

Předpokládejte, že obsah láhve určitého výrobce nápoje má normální rozdělení se střední hodnotou 4 litry a směrodatnou odchylkou 0,01 litru. Z produkce bylo náhodně vybráno 10 lahví a byl zjištěn jejich obsah v litrech.

a) Určete střední hodnotu a rozptyl průměrného obsahu lahve ve výběru.

b) Určete střední hodnotu a rozptyl středního celkového obsahu balení 6 lahví.

c) Určete střední hodnoty a rozptyly veličin $S^2, M_{2}, S_{0}^2$

d) Najděte pravděpodobnost jevu $(3,908< \bar{X}< 4,002,\, 0,0002< S^2)$

e) Najděte obsah lahve takový, že je veličinou $\bar{X}$ překročen jen s pravděpodobností 0,04.

f) Kolik lahví by muselo být vybráno, aby směrodatná odchylka statistiky $\bar{X}$ byla maximálně 0,005 litru?

Výsledek

a) $E(\bar{X})=4,\, D(\bar{X})=\frac{0,01^2}{10}=0,000\: 01$

b) $24 \, \textrm{litru}, \, D\left ( \sum_{i=1}^{6}X_{i} \right )=0.000\, 6 \, \textrm{litru}^2$

c) $E(S^2)=0,000\: 1;\, E(M_{2})=0,000\: 09;\, E(S_{0}^2)=0,000\: 1$

$D({M_{2}})=1,8.10^{-9};\, D(S^2)=2,2.10^{-9};\, D(S_{0}^2)=2.10^{-9}$

d) $0,026$

e) $4,006$ litru

f) $n\geq 4$

Postup

a) $X \sim N(4;0,01^2),\, n=10\rightarrow E(\bar{X})=4,\, D(\bar{X})=\, \frac{0,01^2}{10}=0,000\: 01$

b) $X \sim N(4;0,01^2),\, n=6\rightarrow E\left ( \sum_{i=1}^{6} X_{i}\right )=24,\, D\left ( \sum_{i=1}^{6} X_{i}\right )=6.0,01^2=0,000\: 6,\,$

c) $E(S^2)=0,000\: 1;\, E(M_{2})=0,000\: 09;\, E(S_{0}^2)=0,000\: 1$

$D({M_{2}})=1,8.10^{-9};\, D(S^2)=2,2.10^{-9};\, D(S_{0}^2)=2.10^{-9}$

d) $E(S^2)=0,000\: 1;\, E(M_{2})=\frac{9}{10}.0,000\: 1=0,000\: 09;\, E(S_{0}^2)=0,000\: 1$

$D({M_{2}})=\frac{2.9}{10^2}.0,01^4=1,8.10^{-9};\, D(S^2)=\frac{2}{9}.0,01^4=2,2.10^{-9};\, D(S_{0}^2)=\frac{2}{10}.0,01^4=2.10^{-9}$

e) $P((3,908\leq \bar{X}\leq 4,002)\cap (0,000\: 2\leq S^2 ))=P((3,908\leq \bar{X}\leq 4,002). P(0,000\: 2\leq S^2 )=\left ( F_{N(4;0,000\: 01)}(4,002)-F_{N(4;0,000\: 01)}(3,908)\right ).\left ( 1-F_{\chi^2(9)}\left ( 0,000\: 2.\frac{9}{0,01^2}\right ) \right )=0,7365.0,035=0,026$

f) Najděte obsah láhve takový, že veličinou $\bar{X}$ překročen jen s pravděpodobnosti $0,04$.

$x_{0,96}=4+\sqrt{0,000\: 01}\: u_{0,96}=4,006 \, \textrm{litru}$