Téma : Matematická statistika → Náhodný výběr z pravděpodobnostního rozdělení → Výběrová rozdělení

Předmět : 4ST215, 4ST220, 4ST430

Obtížnost : Lehké příklady

Předpokládejte, že hmotnost pytle brambor má normální rozdělení se střední hodnotou

50 g a směrodatnou odchylkou 0,5 kg. Majitel restaurace odebral 8 takových pytlů.

a) Najděte rozdělení průměrné hmotnosti pytle a celkové hmotnosti brambor.

b) Jaká je pravděpodobnost, že pytle budou obsahovat aspoň 402 kg brambor?

c) S jakou pravděpodobností bude celková hmotnost brambor menší než 398,5 kg?

d) S jakou celkovou hmotností brambor může majitel restaurace počítat s pravděpodobností aspoň 0,9?

e) Jaká je pravděpodobnost, že průměrná hmotnost pytle bude v intervalu (49,5kg, 50,2kg)?

f) Jaká je pravděpodobnost, že výběrový rozptyl S² je v intervalu (0,2, 0,5)?

g) Jaká je pravděpodobnost, že druhý výběrový centrální moment je v intervalu (0,2, 0,5)?

h) Najděte kvartily průměrné hmotnosti pytle brambor.

Výsledek

a) $\bar{X} \sim N\left ( 50;\frac{1}{32} \right ),\, M \sim N(400,2)$

b) $0,079$

c) $0,144$

d) $398,2kg$

e) $0,869$

f) $0,540$

g) $0,469$

h) $49,88 kg; 50,12 kg$

Postup

a) $n=8,\, X \sim N(50;0,5^2)\rightarrow \bar{X} \sim N\left ( 50,\frac{1}{32} \right ),\, M \sim N(400,2)$

b) $n=8,\, X \sim N(50;0,5^2), \, M \sim N(400,2)\rightarrow P(M\geq 402)=0,079$

c) $n=8,\, X \sim N(50;0,5^2),\, M \sim N(400,2)\rightarrow P(M<398,5)=0,144$

d) $n=8,\, X \sim N(50;0,5^2),\, M \sim N(400,2)\rightarrow x_{0,1}=400+\sqrt2 u_{0,1}=398,2 \, kg$

e) $n=8,\, X \sim N(50;0,5^2),\, \bar{X} \sim N \left ( 50,\frac{1}{32} \right )\rightarrow P(49,5\leq \bar{X}\leq 50,2)=0,869$

f) $n=8,\, X \sim N(50;0,5^2),\, \frac{7S^2}{0,25}=28S^2 \sim \chi^2(7)\rightarrow P(0,2\leq S^2\leq 0,5)=P(5,6\leq 28S^2\leq 14)=0,54$

g) $n=8,\, X \sim N(50;0,5^2),\, \frac{8M_{2}}{0,25}=32S^2 \sim \chi^2(7)\rightarrow P(0,2\leq S^2\leq 0,5)=P(6,4\leq 28S^2\leq 16)=0,469$

h) $n=8,\, X \sim N(50;0,5^2),\, \bar{X} \sim\left ( 50;\frac{1}{32} \right )\rightarrow \bar{x}_{0,25}=50+ \sqrt{\frac{1}{32}}u_{0,25}=49,88kg,\, \bar{x}_{0,75}=50+\sqrt{\frac{1}{32}}u_{0,75}=50,12kg$