Téma : Matematická statistika → Náhodný výběr z pravděpodobnostního rozdělení → Výběrová rozdělení

Předmět : 4ST430

Obtížnost : Lehké příklady

Náhodný vektor X má pětirozměrné normálního rozdělení s vektorem středních hodnot $\mathbf{\mu_X}$ a kovarianční maticí $\mathbf{\sum_X}.$

i) Jaké rozdělení má kvadratická forma $(\mathbf{X}-\mathbf{\mu_X})'\mathbf{\sum_X}^{-1}(\mathbf{X}-\mathbf{\mu}_X)?$
ii) Jaké rozdělení má vektor $(\mathbf{X}-\mathbf{\mu_X})?$
iii) Jaké rozdělení má lineární forma $\mathbf{Y}=2\mathbf{X}?$

Z výběru $\mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,…,\mathbf{X}_{40}$ byl pořízen vektor a výběrová kovarianční matice S.

iv) Jak určíte Wishartovu matici?
v) Jaké rozdělení má Wishartova matice?
vi) Jaké rozdělení má matice $\mathbf{\sum}_{\mathit{i}=1}^{40}(\mathbf{X}_{\mathit{i}}-\mathbf{\mu}_X)(\mathbf{X}_{\mathit{i}}-\mathbf{\mu}_X)'? $
vii) Jaký předpis a jaké rozdělení má kvadratická forma Q2? $\mathit{Q}_2=40(\bar{\mathbf{X}}-\mu_X)'\mathbf{S}^{-1}(\bar{\mathbf{X}}-\mu_X)$
viii) Jaké rozdělení má vektor $(\bar{\mathbf{X}}-\mu_X)?$

Výsledek

i) $\mathit{\chi}^2(5)$
ii) $\mathit{N}_5(\mathbf{0;\sum_X})$
iii) $N_5(2\mathbf{\mu}_X;\:4\mathbf{\sum}_X)$
iv) $ \mathbf{\sum}_{\mathit{i}=1}^{40}(\mathbf{X}_{\mathit{i}}-\bar{\mathbf{X}})(\mathbf{X}_{\mathit{i}}-\bar{\mathbf{X}})'$
v) $W_5\left(39;\mathbf{\sum}_{\mathbf{X}}\right)$
vi) $W_{5}\left(70,\mathbf{\sum}_{\mathbf{X}}\right) $
vii) $T^2(5;35)$
viii) $N_{5}\left(0,\frac{1}{40}\mathbf{\sum}_{\mathbf{X}}\right)$