Téma : Matematická statistika → Náhodný výběr z pravděpodobnostního rozdělení → Výběrová rozdělení

Předmět : 4ST215, 4ST220, 4ST430

Obtížnost : Lehké příklady

Předpokládejte, že $U_{1},\, U_{2},\, ...U_{18}$ jsou nezávislé veličiny s normovaným normálním rozdělením a $X$ (nezávislá na veličinách $U$) má rozdělení $N(10,4)$.

Jaké rozdělení (jméno a parametry) mají náhodné veličiny: $\frac{X-10}{2},\, G_{1}=U_{1}^2+U_{2}^2+...+U_{10}^2, \, G_{2}=U_{11}^2+U_{12}^2+...+U_{18}^2,\, 0,8\frac{G_{1}}{G_{2}},\, \frac{\sqrt 10 }{2 }\frac{(X-10)}{\sqrt G_{1}}$

Výsledek

$N(0,1),\, \chi^2(10), \, \chi^2(8), \, F(10,8),\, t(10)$

Postup

$\frac{X-10}{2}:X\sim N(10,4)\rightarrow \frac{X-E(X)}{\sqrt {D(X)}}=\frac{X-10}{2}\sim N(0,1)$

$G_{1}: \, G_{1}= U_{1}^2+U_{2}^2+...+U_{10}^2 \sim \chi^2 (10)$

$G_{2}: \, G_{2}= U_{11}^2+U_{12}^2+...+U_{18}^2 \sim \chi^2 (8)$

$0,8\frac{G_{1}}{G_{2}}:\, G_{1} \sim \chi^2 (10),\, G_{2}\sim \chi^2 (8),\, \textrm{nezavisle}\rightarrow \frac{G_{1}/10}{G_{2}/8}=0,8\frac{G_{1}}{G_{2}} \sim F(10,8)$

$\frac{\sqrt {10}}{2}\frac{(X-10)}{\sqrt {G_{1}}}:\frac{X-10}{2} \sim N(0,1),\, \, G_{1} \sim \chi^2 (10),\, \textrm{nezavisle}\rightarrow \frac{\frac{X-10}{2}}{\sqrt{G_{1}/10}}=\frac{\sqrt {10}}{2}\frac{(X-10)}{\sqrt {G_{1}}} \sim t(10)$