Téma : Matematická statistika → Bodový odhad → Základy teorie odhadu

Předmět : 4ST215, 2ST220, 4ST430

Obtížnost : Lehké příklady

Uvažujte výběr o rozsahu 7 z exponenciálního rozdělení. Z vybraných hodnoty byl zjištěn součet 14.

a) Zapište věrohodnostní funkci L pro odhad parametru σ.

b) Určete hodnoty věrohodnostní fukce pro hodnoty σ = 1 ; 1,5 ; 3.

c) Ve kterém bodě funkce L nabývá svého maxima?

Výsledek

a) $L(\delta )=\delta^{-7}e^{-\frac{14}{\delta}}$

b) $L(1)=8,32.10^{-7},\, L(1,5)=5,17.10^{-6},\, L(3)=4,3.10^{-6}$

c) $L(2)=7,12.10^-6$

Postup

a)

$f(x;\delta)=\frac{1}{\delta}e^{-\frac{x}{\delta}}\rightarrow L(\delta)=\prod_{i=1}^{7}\frac{1}{\delta}e^{-\frac{x_{i}}{\delta}}=\delta^{-7}e^{\frac{\sum_{i=1}^{7}x_{i}}{\delta}}=\delta^{-7}e^{-\frac{14}{\delta}}$

b)

$L(1)=e^{-14}=8,32.10^{-7},\, L(1,5)=1,5^{-7}e^{-\frac{14}{1,5}}=5,17.10^{-6},\, L(3)=3^{-7}e^{-\frac{14}{3}}=4,3.10^{-6}$

c)

$\hat{\delta}=\bar{X}=2\rightarrow \textrm{maximum} L(2)=2^{-7}e^{-\frac{14}{2}}=7,12.10^{-6}$