Téma : Matematická statistika → Bodový odhad → Základy teorie odhadu

Předmět : 4ST215, 4ST220, 4ST430

Obtížnost : Lehké příklady

Výběr o rozsahu n pochází z normálního rozdělení. Jestliže víte, že platí: $E\left ( \sum_{i=1}^{n} \left ( X_{i}- \bar{X} \right )^{2} \right )=\left ( n-1 \right )\sigma ^{2},\, D\left ( \sum_{i=1}^{n} \left ( X_{i}- \bar{X} \right )^{2}\right ) = 2\left ( n-1 \right )\sigma ^{4},$

najděte zkreslení $b\left ( \sigma ^{2} \right )$ , rozptyl a střední čtvercovou odchylku odhadu $T=\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}\left ( X_{i}-\bar{X} \right )^2$ parametru $\sigma^{2}$ .

Výsledek

$b\left ( \sigma^{2} \right )=\sigma^{2}\frac{-2}{n+1}.D(T)=2.\frac{n-1}{\left ( n+1 \right )^{2}}\sigma^{4},\, E(T-\sigma^{2})^{2}=\frac{2}{(n+1)}\sigma^{4}$

Postup

$E(T)=E\left ( \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}\right )=\frac{n-1}{n+1}\sigma^{2}$

Zkreslení:

$b(\sigma^{2})=E(T)-\sigma^{2}=\frac{n-1}{n+1}\sigma^{2}-\sigma^{2}=\sigma^{2}\frac{-2}{n+1}$

Rozptyl:

$D(T)=D\left ( \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}\right )=\frac{1}{(n+1)^{2}}2(n-1)\sigma^{4}=2\frac{n-1}{(n+1)^{2}}\sigma^{4}$

Střední čtvercová odchylka:

$E(T-\sigma^{2})^{2}=D(T)+(b(\sigma^{2}))^{2}=E\left ( \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}-\sigma^{2}\right )^{2}=2\frac{n-1}{(n+1)^{2}}\sigma^{4}+\left ( \sigma^{2}\frac{-2}{n+1} \right )^{2}=\frac{2}{(n+1)}\sigma^{4}$