Téma : Matematická statistika → Bodový odhad → Konstrukce a vlastnosti bodových odhadů

Předmět : 4ST215, 4ST430

Obtížnost : Středně těžké příklady

Předpokládejte, že náhodná veličina s Paretovým rozdělením má hustotu $(\alpha>0)$

$\mathit{f}(\mathit{x})=\frac{\mathit{\alpha\theta}^\mathit{\alpha}}{\mathit{x}^{\mathit{\alpha}+1}},\:\mathit{x}>\mathit{\theta}.$

Hodnota parametru $\theta$ je známa.

i) Najděte maximálně věrohodný odhad parametru α.

ii) Najděte momentový odhad tohoto parametru.

iii) Jestliže byly pozorovány následující hodnoty náhodné veličiny 220, 200, 600, 800, 550, 650, 700, 1000, 850, 550,

zvolte $\theta=200$ a odhadněte parametr α. Porovnejte hodnoty maximálně věrohodného a momentového odhadu.

Výsledek

$\hat{\alpha}=\frac{\mathit{n}}{\sum_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}\ln\mathit{X}_{\mathit{i}}-\mathit{n}\ln\mathit{\theta}};\;\mathit{\alpha}^+=\frac{\bar{X}}{\bar{X}-\mathit{\theta}};\;\hat{\alpha}=0,991;\;\mathit{\alpha}^+=1,485$

Postup

i)

$L(\alpha)=\prod^{n}_{i=1}\frac{\alpha\theta^{\alpha}}{x_i^{\alpha+1}}=\alpha^n\theta^{n\alpha}\prod^n_{i=1}\frac{1}{x_i^{\alpha+1}},$ $l(\alpha)=n\ln\alpha+n\alpha\ln\theta-\sum^n_{i=1}(\alpha+1)\ln x_i,$ $\frac{\partial l}{\partial\alpha}=\frac{n}{\alpha}+n\ln\theta-\sum^n_{i=1}\ln x_i\rightarrow$
$\hat{\alpha}=\frac{\mathit{n}}{\sum_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}\ln\mathit{X}_{\mathit{i}}-\mathit{n}\ln\mathit{\theta}}$

ii)

$E(X)=\frac{\alpha\theta}{\alpha-1},\:\alpha>1$ $\bar{X}=\frac{\alpha^{+}\theta}{\alpha^+ -1}\rightarrow$ $\mathit{\alpha}^+=\frac{\bar{X}}{\bar{X}-\mathit{\theta}}$

iii)

$\theta=200,\:n=10,\:\bar{X}=612,\:\sum\ln X_i=63,074\rightarrow$
$\hat{\alpha}=0,991;\;\mathit{\alpha}^+=1,485$