Statistika

Téma : Bayesovská pravděpodobnost a statistika → Věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec

Předmět : 4ST214

Obtížnost : Těžké příklady

Z osudí, které obsahuje šest koulí bílých a šest koulí černých bylo vytaženo pět koulí a vloženo do jiného prázdného osudí. Z tohoto druhého osudí byly vytaženy tři koule a vloženy do dalšího prázdného osudí. Z tohoto třetího osudí byla vytažena jedna koule a bylo zjištěno, že je bílá. Vypočítejte pravděpodobnost, že všech pět koulí vytažených z prvního osudí bylo bílých.

Zdroj: Arltová, M. − Bílková, D. − Jarošová, E. − Pourová, Z.: Sbírka příkladů ze statistiky (Statistika A). Praha, VŠE 1996.

Výsledek

0,015

Postup

A = (ze třetího osudí byla vytažena bílá koule)

B₀ = (z prvního osudí nebyla vytažena žádná bílá koule, pouze 5 koulí černých)

B₁ = (z prvního osudí byla vytažena 1 bílá koule a 4 černé koule)

B₂ = (z prvního osudí byly vytaženy 2 bílé koule a 3 černé koule)

B₃ = (z prvního osudí byly vytaženy 3 bílé koule a 2 černé koule)

B₄ = (z prvního osudí byly vytaženy 4 bílé koule a 1 černá koule)

B₅ = (z prvního osudí bylo vytaženo 5 koulí bílých a žádná černá koule)

Přemístit z druhého osudí, kde je celkem pět koulí, tři koule do třetího osudí a odtud jednu kouli vytáhnout lze způsoby

P(A|B₀)…podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí nebyla vytažena žádná bílá koule, nýbrž pouze pět koulí černých

P(A|B₁)…podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí byla vytažena jedna bílá koule a čtyři černé koule

P(A|B₂)…podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí byly vytaženy dvě bílé koule a tři černé koule

P(A|B₃)… podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí byly vytaženy tři bílé koule a dvě černé koule

P(A|B₄)… podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí byly vytaženy čtyři bílé koule a jedna černá koule

P(A|B₅)…podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí bylo vytaženo pět bílých koulí, a tedy žádná černá koule

P(A|B₀) = 0

P(A|B₁)

Aby mohla být ze třetího osudí vytažena bílá koule, musí se z druhého osudí do třetího osudí přemístit jedna bílá koule a dvě koule černé, což lze provést způsoby

Je-li ve třetím osudí jedna bílá koule, lze ji vytáhnout pouze jedním způsobem

P(A|B₂)

Aby mohla být ze třetího osudí vytažena bílá koule, musí se z druhého osudí do třetího osudí přemístit buď jedna bílá koule a dvě černé koule nebo dvě bílé koule a jedna černá koule, jedná se tedy o způsobů

Je-li ve třetím osudí jedna bílá koule, lze ji vytáhnout pouze jedním způsobem, jsou-li ve třetím osudí dvě bílé koule, lze je vytáhnout dvěma způsoby

Obdobně

Náhodné jevy B₀, B₁, B₂, B₃, B₄ a B₅ tvoří úplný systém neslučitelných (disjunktních jevů) a náhodný jev A může nastat pouze ve spojení právě s jedním z jevů B₀, B₁, B₂, B₃, B₄ a B₅ → Bayesův vzorec