Téma : Matematická statistika → Bodový odhad → Základy teorie odhadu
Předmět : 4ST215, 4ST220, 4ST430
Obtížnost : Středně těžké příklady
Uvažujte výběr $X_{i}$ o rozsahu $n$ z rozdělení $N(\mu ,4)$. Neznámá střední hodnota byla odhadnuta statistikami $T_{1}=2X_{1}-X_{n} $ a $T_{2} = \bar{X}$.
a) Ukažte, že oba odhady jsou nezkreslené. Rozhodněte, zda jsou také konzistentní.
b) Je některý z uvedených odhadů momentovým odhadem parametru $\mu$?
c) Určete vydatnost odhadu $T_{1}$ vzhledem k $T_{2}$ (určete relativní vydatnost). Posuďte chování této charakteristiky pro velká $n$.
d) Zapište hustotu $N(\mu,4)$ v exponenciálním tvaru a najděte postačující statistiku pro parametr $\mu$.
e) Ukažte, že systém normálních rozdělení $N(\mu,4)$
$\left \{ \frac{1}{2\sqrt{2\pi}}exp\left ( -\frac{\left ( x-\mu \right )^{2}}{8} \right ) \right., x \in R; \mu \in R \left. \right \} $ je exponenciálního typu a regulární.