Téma : Matematická statistika → Bodový odhad → Konstrukce a vlastnosti bodových odhadů
Předmět : 4ST215, 4ST430
Obtížnost : Středně těžké příklady
Předpokládejte, že náhodná veličina s Paretovým rozdělením má hustotu $(\alpha>0)$
$\mathit{f}(\mathit{x})=\frac{\mathit{\alpha\theta}^\mathit{\alpha}}{\mathit{x}^{\mathit{\alpha}+1}},\:\mathit{x}>\mathit{\theta}.$
Hodnota parametru $\theta$ je známa.
i) Najděte maximálně věrohodný odhad parametru α.
ii) Najděte momentový odhad tohoto parametru.
iii) Jestliže byly pozorovány následující hodnoty náhodné veličiny 220, 200, 600, 800, 550, 650, 700, 1000, 850, 550,
zvolte $\theta=200$ a odhadněte parametr α. Porovnejte hodnoty maximálně věrohodného a momentového odhadu.
Výsledek
$\hat{\alpha}=\frac{\mathit{n}}{\sum_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}\ln\mathit{X}_{\mathit{i}}-\mathit{n}\ln\mathit{\theta}};\;\mathit{\alpha}^+=\frac{\bar{X}}{\bar{X}-\mathit{\theta}};\;\hat{\alpha}=0,991;\;\mathit{\alpha}^+=1,485$
Postup
i)
$L(\alpha)=\prod^{n}_{i=1}\frac{\alpha\theta^{\alpha}}{x_i^{\alpha+1}}=\alpha^n\theta^{n\alpha}\prod^n_{i=1}\frac{1}{x_i^{\alpha+1}},$
$l(\alpha)=n\ln\alpha+n\alpha\ln\theta-\sum^n_{i=1}(\alpha+1)\ln x_i,$
$\frac{\partial l}{\partial\alpha}=\frac{n}{\alpha}+n\ln\theta-\sum^n_{i=1}\ln x_i\rightarrow$
$\hat{\alpha}=\frac{\mathit{n}}{\sum_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}\ln\mathit{X}_{\mathit{i}}-\mathit{n}\ln\mathit{\theta}}$
ii)
$E(X)=\frac{\alpha\theta}{\alpha-1},\:\alpha>1$ $\bar{X}=\frac{\alpha^{+}\theta}{\alpha^+ -1}\rightarrow$ $\mathit{\alpha}^+=\frac{\bar{X}}{\bar{X}-\mathit{\theta}}$
iii)
$\theta=200,\:n=10,\:\bar{X}=612,\:\sum\ln X_i=63,074\rightarrow$
$\hat{\alpha}=0,991;\;\mathit{\alpha}^+=1,485$