Téma : Bayesovská pravděpodobnost a statistika → Věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec
Předmět : 4ST214
Obtížnost : Těžké příklady
Z osudí, které obsahuje šest koulí bílých a šest koulí černých bylo vytaženo pět koulí a vloženo do jiného prázdného osudí. Z tohoto druhého osudí byly vytaženy tři koule a vloženy do dalšího prázdného osudí. Z tohoto třetího osudí byla vytažena jedna koule a bylo zjištěno, že je bílá. Vypočítejte pravděpodobnost, že všech pět koulí vytažených z prvního osudí bylo bílých.
Zdroj: Arltová, M. − Bílková, D. − Jarošová, E. − Pourová, Z.: Sbírka příkladů ze statistiky (Statistika A). Praha, VŠE 1996.
Výsledek
0,015
Postup
A = (ze třetího osudí byla vytažena bílá koule)
B0 = (z prvního osudí nebyla vytažena žádná bílá koule, pouze 5 koulí černých)
B1 = (z prvního osudí byla vytažena 1 bílá koule a 4 černé koule)
B2 = (z prvního osudí byly vytaženy 2 bílé koule a 3 černé koule)
B3 = (z prvního osudí byly vytaženy 3 bílé koule a 2 černé koule)
B4 = (z prvního osudí byly vytaženy 4 bílé koule a 1 černá koule)
B5 = (z prvního osudí bylo vytaženo 5 koulí bílých a žádná černá koule)
Přemístit z druhého osudí, kde je celkem pět koulí, tři koule do třetího osudí a odtud jednu kouli vytáhnout lze způsoby
P(A|B0)…podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí nebyla vytažena žádná bílá koule, nýbrž pouze pět koulí černých
P(A|B1)…podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí byla vytažena jedna bílá koule a čtyři černé koule
P(A|B2)…podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí byly vytaženy dvě bílé koule a tři černé koule
P(A|B3)… podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí byly vytaženy tři bílé koule a dvě černé koule
P(A|B4)… podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí byly vytaženy čtyři bílé koule a jedna černá koule
P(A|B5)…podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí bylo vytaženo pět bílých koulí, a tedy žádná černá koule
P(A|B0) = 0
P(A|B1)
Aby mohla být ze třetího osudí vytažena bílá koule, musí se z druhého osudí do třetího osudí přemístit jedna bílá koule a dvě koule černé, což lze provést způsoby
Je-li ve třetím osudí jedna bílá koule, lze ji vytáhnout pouze jedním způsobem
P(A|B2)
Aby mohla být ze třetího osudí vytažena bílá koule, musí se z druhého osudí do třetího osudí přemístit buď jedna bílá koule a dvě černé koule nebo dvě bílé koule a jedna černá koule, jedná se tedy o způsobů
Je-li ve třetím osudí jedna bílá koule, lze ji vytáhnout pouze jedním způsobem, jsou-li ve třetím osudí dvě bílé koule, lze je vytáhnout dvěma způsoby
Obdobně
Náhodné jevy B0, B1, B2, B3, B4 a B5 tvoří úplný systém neslučitelných (disjunktních jevů) a náhodný jev A může nastat pouze ve spojení právě s jedním z jevů B0, B1, B2, B3, B4 a B5 → Bayesův vzorec