====== Příklad - L1 ======

**Téma** : Teorie pravděpodobnosti -> Rozdělení náhodného vektoru -> vícerozměrné normální rozdělení

**Předmět** : 4ST430, 4ST214, 4ST220

**Obtížnost** : Lehké příklady
----
===== Zadání =====
Ve firmě chtějí prozkoumat vztah mezi věkem v letech (X) a délkou pracovní neschopnosti ve dnech (Y). Předpokládejte, že náhodný vektor 

$$\begin{pmatrix}
X\\ 
Y
\end{pmatrix}$$  má dvourozměrné normální rozdělení s parametry $$\boldsymbol{\mathrm{\mu}}= \begin{pmatrix}
35\\ 
10
\end{pmatrix}$$  a kovariační maticí $$\boldsymbol{\Sigma }=\begin{pmatrix}
 25&3 \\ 3
 & 16
\end{pmatrix}.$$

**a)**	Jaké je rozdělení délky pracovní neschopnosti a jaké rozdělení má tato délka pro zaměstnance ve věku 40 let?

**b)**	Najděte pravděpodobnost, že doba neschopnosti bude delší než 25 dní a pravděpodobnost, že doba neschopnosti 40-letého zaměstnance bude delší než 25 dní.


----
===== Řešení =====
__**Výsledek**__

**a)** $ N(10;16),\, N(10,6;15,64) $

**b)** $0,894, \,0,922$

__**Postup**__

**a)** 

$\textit{Y}\sim N(10;16),\, \rho _{XY}={\frac{3}{\sqrt{25.16}}}=0,15$

$E(\textit{Y}\mid X=40)= 10+0,15\frac{4}{5}(40-35)=10,6$

$D(\textit{Y}\mid X=40)= 16\, (1-0,15^{2})=15,64$

$\textit{Y}\mid X=40\sim N(10,6;15,64)$

**b)**

$P(\textit{Y}\geq5)=1-\Phi \left ( \frac{5-10}{4} \right )=0,894$

$P(\textit{Y}\geq5\mid X=40)=1-\Phi \left ( \frac{5-10,6}{\sqrt{15,64}} \right )=0,922$