====== Příklad - S1 ======

**Téma** : Teorie pravděpodobnosti -> Rozdělení náhodného vektoru -> charakteristiky náhodného vektoru

**Předmět** : 4ST430

**Obtížnost** : Středně těžké příklady
----
===== Zadání =====
Kovarianční matice náhodného vektoru má charakteristická čísla 2, 3 a 6 a charakteristické vektory 
 
$$\textbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}
2\\ 
0\\ 
-2
\end{pmatrix},
\textbf{v}_{2}=\begin{pmatrix}
-1\\ 
-1\\ 
-1
\end{pmatrix},
\textbf{v}_{3}=\begin{pmatrix}
2\\ 
-4\\ 
2
\end{pmatrix}. $$

**a)**	Kolik složek má náhodný vektor?

**b)**	Jsou ortonormální? Pokud ne, upravte je.


----
===== Řešení =====
__**Výsledek**__

**a)** 3

**b)** ne;
 $$\sqrt{8}\,\begin{pmatrix}
2\\ 
0\\ 
-2
\end{pmatrix},
\sqrt{3}\,\begin{pmatrix}
-1\\ 
-1\\ 
-1
\end{pmatrix},
\sqrt{24} \, \begin{pmatrix}
2\\ 
-4\\ 
2
\end{pmatrix}$$

__**Postup**__

**a)** 3

**b)**

**//Ortogonální://** $${\textbf{v}_{1}}'\textbf{v}_{2}=2(-1)+0(-1)+(-2)(-1)=0$$
obdobně $${\textbf{v}_{1}}'\textbf{v}_{3}={\textbf{v}_{2}}'\textbf{v}_{3}=0$$

**//Délka://** $$\left | \textbf{v}_{1} \right |={\textbf{v}_{1}}'\textbf{v}_{1}=\sqrt{2^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{8}$$
$$\left | \textbf{v}_{2} \right |={\textbf{v}_{2}}'\textbf{v}_{2}=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3}$$
$$\left | \textbf{v}_{3} \right |={\textbf{v}_{3}}'\textbf{v}_{3}=\sqrt{2^{2}+(-4)^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{24}$$

**//Oprava://** $$\sqrt{8}\,\begin{pmatrix}
2\\ 
0\\ 
-2
\end{pmatrix},
\sqrt{3}\,\begin{pmatrix}
-1\\ 
-1\\ 
-1
\end{pmatrix},
\sqrt{24} \, \begin{pmatrix}
2\\ 
-4\\ 
2
\end{pmatrix}$$