====== Příklad - T1 ======

**Téma** : Teorie pravděpodobnosti -> Definice pravděpodobnosti -> Geometrická definice pravděpodobnosti

**Předmět** : 4ST214

**Obtížnost** : Těžké příklady
----
===== Zadání =====
Vypočítejte pravděpodobnost toho, že ze tří náhodně zvolených intervalů, z nichž každý má délku nejvýše L, lze sestrojit trojúhelník. Předpokládáme, že pravděpodobnost položení bodu v prostorovém útvaru je úměrná objemu tohoto útvaru a nezávisí na jeho umístění a tvaru.

----
===== Řešení =====
__**Výsledek**__

0,500

__**Postup**__

A = (ze tří náhodně zvolených intervalů, z nichž každý má délku nejvýše L, lze sestrojit trojúhelník)

{{:teoriepravdepodobnosti:definicevlastnostivypocetpravdepodobnosti:geometrickadefinicepravdepodobnosti:vysledekgeometrickadefinicepravdepodobnostit1a.png?400|}}

Ze tří intervalů lze sestrojit trojúhelník právě tehdy, když součet délek dvou intervalů je větší, než délka třetího intervalu. Odtud

$x+y> z\: \cap \: x+z> y\: \cap \: y+z> x$

{{:teoriepravdepodobnosti:definicevlastnostivypocetpravdepodobnosti:geometrickadefinicepravdepodobnosti:vysledekgeometrickadefinicepravdepodobnostit1b.png?400|}}

{{:teoriepravdepodobnosti:definicevlastnostivypocetpravdepodobnosti:geometrickadefinicepravdepodobnosti:vysledekgeometrickadefinicepravdepodobnostit1c.png?400|}}

{{:teoriepravdepodobnosti:definicevlastnostivypocetpravdepodobnosti:geometrickadefinicepravdepodobnosti:vysledekgeometrickadefinicepravdepodobnostit1d.png?400|}}

Dohromady (průnik) - vzniká těleso uvnitř krychle

{{:teoriepravdepodobnosti:definicevlastnostivypocetpravdepodobnosti:geometrickadefinicepravdepodobnosti:vysledekgeometrickadefinicepravdepodobnostit1e.png?400|}}

Objem tělesa

$V_{\textrm{tel}} = V_{\textrm{krychle}} - 3.V_{\textrm{jehlanu}}=L^{2}-3.\frac{\frac{L.L}{2}.L}{3}=\frac{L^{3}}{2}$

$\rightarrow P(A) = \frac{V(A)}{V(E)}=\frac{\frac{L^{3}}{2}}{L^{3}}=\frac{1}{2}=0,5$