====== Příklad - L5 ======

**Téma** : Matematická statistika -> Náhodný výběr z pravděpodobnostního rozdělení -> Výběrová rozdělení

**Předmět** : 4ST215, 4ST220, 4ST430

**Obtížnost** : Lehké příklady
----
===== Zadání =====

Počet zákazníků v provozovně za hodinu lze popsat Poissonovým rozdělením se střední hodnotou 6 zákazníků. Bylo náhodně vybráno 40 hodinových intervalů v průběhu jednoho čtvrtletí a zjištěn počet zákazníků.

**a)** Jedná se náhodný výběr z rozdělení? Pokud ano, z jakého rozdělení a o jakém rozsahu?

**b)** Jaké rozdělení má celkový počet zákazníků ve vybraných hodinách (úhrn)?

**c)** Určete pravděpodobnost, že tento celkový počet zákazníků je aspoň 250 osob. Hodnotu pravděpodobnosti určete z Poissonova rozdělení a pomocí centrální limitní věty (s opravou na spojitost i bez ní).

**d)** Jakým rozdělením lze pomocí centrální limitní věty aproximovat rozdělení průměrného počtu zákazníků za jednu hodinu?

**e)** Pomocí této aproximace určete pravděpodobnost, že průměrná hodnota bude mezi pěti a sedmi osobami (včetně). Hodnotu určete s použitím opravy na spojitost a bez ní.
----
===== Řešení =====
__**Výsledek**__

**a)** Náhodný výběr o rozsahu 40 z rozdělení $Po(6)$

**b)** $N(240,240)$

**c)** $0,7529\,;\, 0,7407\,;\, 0,7510$

**d)** $N\left ( 6;\frac{6}{40} \right )$

**e)**$ 0,8624\,;\, 0,8663\,; \,0,8742$

__**Postup**__

**a)** Náhodný výběr o rozsahu 40 z rozdělení $Po(6)$

**b)** 
$X \sim Po(6),\, n=40\rightarrow M \sim Po(240)\approx N(240,240)$

**c)** 

$Po(240):\, P(M\leq 250)=F_{Po(240)}(250)=0,7529$

$N(240,240):\, P(M\leq 250)=F_{N(240,240)}(250)=0,7407$

$P(M\leq 250)=F_{N(240,240)}(250,5)=0,7510$

**d)** 

$X \sim Po(6), \, n=40 \rightarrow \bar{X}\approx N\left ( 6;\, \frac{6}{40} \right )$

**e)** 


$\bar{X} \approx N\left ( 6;\, \frac{6}{40} \right )\rightarrow P(5,5\leq\bar{X}\leq6,7 )=F_{Po(240)}(268)-F_{Po(240)}(220)=0,8624$

$P(5,5\leq\bar{X}\leq6,7 )=F_{N(6;\: 0,15)}(6,7)-F_{N(6;\: 0,15)}(5,5)=0,8663$

$P(5,5-\frac{1}{80}\leq\bar{X}\leq6,7+\frac{1}{80} )=F_{N(6;\: 0,15)}(6,7125)-F_{N(6;\: 0,15)}(5,4875)=0,8742$