====== Příklad L3 ======

**Téma** : Matematická statistika -> Náhodný výběr z pravděpodobnostního rozdělení -> Výběrová rozdělení

**Předmět** : 4ST215, 4ST220, 4ST430

**Obtížnost** : Lehké příklady
----
===== Zadání =====

Předpokládejte, že obsah láhve určitého výrobce nápoje má normální rozdělení se střední hodnotou 4 litry a směrodatnou odchylkou 0,01 litru. Z produkce bylo náhodně vybráno 10 lahví a byl zjištěn jejich obsah v litrech.

**a)**	Určete střední hodnotu a rozptyl průměrného obsahu lahve ve výběru.
 
**b)**	Určete střední hodnotu a rozptyl středního celkového obsahu balení 6 lahví. 

**c)**	Určete střední hodnoty a rozptyly veličin $S^2, M_{2}, S_{0}^2$

**d)**	Najděte pravděpodobnost jevu $(3,908< \bar{X}< 4,002,\, 0,0002< S^2)$

**e)**	Najděte obsah lahve takový, že je veličinou $\bar{X}$ překročen jen s 
pravděpodobností 0,04.

**f)**	Kolik lahví by muselo být vybráno, aby směrodatná odchylka statistiky   $\bar{X}$ byla maximálně 0,005 litru?


----
===== Řešení =====

__**Výsledek**__

**a)** 
$E(\bar{X})=4,\, D(\bar{X})=\frac{0,01^2}{10}=0,000\: 01$


**b)** 
$24 \, \textrm{litru}, \, D\left ( \sum_{i=1}^{6}X_{i} \right )=0.000\, 6 \, \textrm{litru}^2$


**c)** 
$E(S^2)=0,000\: 1;\, E(M_{2})=0,000\: 09;\, E(S_{0}^2)=0,000\: 1$

$D({M_{2}})=1,8.10^{-9};\, D(S^2)=2,2.10^{-9};\, D(S_{0}^2)=2.10^{-9}$

**d)** 
$0,026$

**e)** 
$4,006$ litru


**f)** 
$n\geq 4$




__**Postup**__

**a)** 
$X \sim N(4;0,01^2),\, n=10\rightarrow E(\bar{X})=4,\, D(\bar{X})=\, \frac{0,01^2}{10}=0,000\: 01$


**b)** 
$X \sim N(4;0,01^2),\, n=6\rightarrow E\left ( \sum_{i=1}^{6} X_{i}\right )=24,\, D\left ( \sum_{i=1}^{6} X_{i}\right )=6.0,01^2=0,000\: 6,\,$


**c)** 
$E(S^2)=0,000\: 1;\, E(M_{2})=0,000\: 09;\, E(S_{0}^2)=0,000\: 1$

$D({M_{2}})=1,8.10^{-9};\, D(S^2)=2,2.10^{-9};\, D(S_{0}^2)=2.10^{-9}$

**d)** 
$E(S^2)=0,000\: 1;\, E(M_{2})=\frac{9}{10}.0,000\: 1=0,000\: 09;\, E(S_{0}^2)=0,000\: 1$

$D({M_{2}})=\frac{2.9}{10^2}.0,01^4=1,8.10^{-9};\, D(S^2)=\frac{2}{9}.0,01^4=2,2.10^{-9};\, D(S_{0}^2)=\frac{2}{10}.0,01^4=2.10^{-9}$

**e)** 
$P((3,908\leq \bar{X}\leq 4,002)\cap (0,000\: 2\leq S^2 ))=P((3,908\leq \bar{X}\leq 4,002). P(0,000\: 2\leq S^2 )=\left (  F_{N(4;0,000\: 01)}(4,002)-F_{N(4;0,000\: 01)}(3,908)\right ).\left ( 1-F_{\chi^2(9)}\left (  0,000\: 2.\frac{9}{0,01^2}\right ) \right )=0,7365.0,035=0,026$


**f)** 
Najděte obsah láhve takový, že veličinou $\bar{X}$ překročen jen s pravděpodobnosti $0,04$.

$x_{0,96}=4+\sqrt{0,000\: 01}\: u_{0,96}=4,006 \, \textrm{litru}$