====== Příklad - L10 ======

**Téma** : Matematická statistika -> Náhodný výběr z pravděpodobnostního rozdělení -> Výběrová rozdělení

**Předmět** : 4ST430

**Obtížnost** : Lehké příklady
----
===== Zadání =====

Náhodný vektor X má pětirozměrné normálního rozdělení s vektorem středních hodnot $\mathbf{\mu_X}$  a kovarianční maticí $\mathbf{\sum_X}.$

i) Jaké rozdělení má kvadratická forma  
$(\mathbf{X}-\mathbf{\mu_X})'\mathbf{\sum_X}^{-1}(\mathbf{X}-\mathbf{\mu}_X)?$\\
ii) Jaké rozdělení má vektor  $(\mathbf{X}-\mathbf{\mu_X})?$\\
iii) Jaké rozdělení má lineární forma $\mathbf{Y}=2\mathbf{X}?$

Z výběru $\mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,…,\mathbf{X}_{40}$ byl pořízen vektor a výběrová kovarianční matice S. 

iv) Jak určíte Wishartovu matici? \\
v) Jaké rozdělení má Wishartova matice? \\
vi) Jaké rozdělení má matice 
$\mathbf{\sum}_{\mathit{i}=1}^{40}(\mathbf{X}_{\mathit{i}}-\mathbf{\mu}_X)(\mathbf{X}_{\mathit{i}}-\mathbf{\mu}_X)'? $\\
vii) Jaký předpis a jaké rozdělení má kvadratická forma Q2?  
$\mathit{Q}_2=40(\bar{\mathbf{X}}-\mu_X)'\mathbf{S}^{-1}(\bar{\mathbf{X}}-\mu_X)$\\
viii) Jaké rozdělení má vektor $(\bar{\mathbf{X}}-\mu_X)?$


----
===== Řešení =====
__**Výsledek**__


i) $\mathit{\chi}^2(5)$\\
ii) $\mathit{N}_5(\mathbf{0;\sum_X})$\\
iii) $N_5(2\mathbf{\mu}_X;\:4\mathbf{\sum}_X)$\\
iv) $ \mathbf{\sum}_{\mathit{i}=1}^{40}(\mathbf{X}_{\mathit{i}}-\bar{\mathbf{X}})(\mathbf{X}_{\mathit{i}}-\bar{\mathbf{X}})'$\\
v) $W_5\left(39;\mathbf{\sum}_{\mathbf{X}}\right)$\\
vi) $W_{5}\left(70,\mathbf{\sum}_{\mathbf{X}}\right) $\\
vii) $T^2(5;35)$\\
viii) $N_{5}\left(0,\frac{1}{40}\mathbf{\sum}_{\mathbf{X}}\right)$