====== Příklad L2 ======

**Téma** : Matematická statistika -> Náhodný výběr z konečné množiny

**Předmět** : 4ST215, 4ST220, 4ST430

**Obtížnost** : Lehké příklady
----
===== Zadání =====

V určitém městě žije 500 dětí ve věku 6 až 15 let.

**i)** Kolik by bylo třeba vybrat dětí, pokud bychom chtěli do výběru zahrnout každé dvacáté dítě?

**ii)** Kolik by bylo třeba vybrat (prostým náhodným výběrem s vracením) dětí, aby pravděpodobnost zahrnutí určitého dítěte do výběru byla aspoň 0,07?

**iii)** Jestliže bylo vybráno 150 dětí, jaký je krok výběru?

**iv)** Předpokládejte, že do určité základní školy chodí 200 dětí. Nakreslete graf středního počtu vybraných dětí z této školy v závislosti na rozsahu výběru pro výběr s vracením i bez vracení. Totéž udělejte pro směrodatnou odchylku. 
----
===== Řešení =====

__**Výsledek**__

**i)** $n_1=25$

**ii)** $n_2\geq37$

**iii)** $f=3,3$

**iv)**

Počet vybrnaých dětí ze školy: střední hodnota $0,4n$

{{:matematickastatistika:nahodnyvyberkonecnemnoziny:clipboard02_2_.png?400|}}

směrodatná odchylka:\\
výběr s vracením   $\sqrt{0,24\mathit{n}}$\\
výběr bez vracení  $\sqrt{0,24\frac{500-\mathit{n}}{499}\mathit{n}}$

{{:matematickastatistika:nahodnyvyberkonecnemnoziny:clipboard01_3_.png?400|}}


__**Postup**__

**i)**  

$\mathit{N}=500,\:\mathit{n}_1=?,\:\mathit{f}=\frac{\mathit{N}}{\mathit{n}_1}=20\rightarrow\mathit{n}_1=\frac{500}{20}=25$

**ii)** 

$\mathit{N}=500,\:\mathit{n}_2=?$\\
P(zahrnutí jednotky do výběru) $\:=1-\left(\frac{\mathit{N}-1}{\mathit{N}}\right)^{\mathit{n}_2}
\geq0,07\rightarrow$\\ 
$1-\left(\frac{499}{500} \right )^{\mathit{n}_2}\geq0,07\rightarrow\mathit{n}_2\ln\left(\frac{499}{500} \right )\geq\ln0,93\rightarrow\mathit{n}_2\geq\frac{\ln0,93}{-\ln(499/500)}=36,25\rightarrow\mathit{n}_2\geq37$

**iii)**

$\mathit{N}=500,\:\mathit{n}=150,\:\mathit{f}=\frac{\mathit{N}}{\mathit{n}}=\frac{150}{500}=3,3$

**iv)** 
 
Počet vybraných dětí ze školy: střední hodnota: $\mathit{n}\cdot\frac{200}{500}=0,4\mathit{n}$

{{:matematickastatistika:nahodnyvyberkonecnemnoziny:clipboard02_2_.png?400|}}

směrodatná odchylka:\\
výběr s vracením $\sqrt{n\frac{200}{500}\left(1-\frac{200}{500} \right )}=\sqrt{0,24\mathit{n}}$

výběr bez vracení: $\sqrt{n\frac{200}{500}\left(1-\frac{200}{500} \right )\left(\frac{500-\mathit{n}}{500-1} \right )}=\sqrt{0,24\frac{500-\mathit{n}}{499}\mathit{n}}$