====== Příklad - S2 ======

**Téma** : Matematická statistika -> Bodový odhad -> Konstrukce a vlastnosti bodových odhadů

**Předmět** : 4ST215, 4ST430

**Obtížnost** : Středně těžké příklady
----
===== Zadání =====

Předpokládejte, že náhodná veličina s Paretovým rozdělením má hustotu $(\alpha>0)$

$\mathit{f}(\mathit{x})=\frac{\mathit{\alpha\theta}^\mathit{\alpha}}{\mathit{x}^{\mathit{\alpha}+1}},\:\mathit{x}>\mathit{\theta}.$

Hodnota parametru $\theta$ je známa.

**i)** Najděte maximálně věrohodný odhad parametru α.

**ii)** Najděte momentový odhad tohoto parametru.

**iii)** Jestliže byly pozorovány následující hodnoty náhodné veličiny 220, 200, 600, 800, 550, 650, 700, 1000, 850, 550,

zvolte $\theta=200$ a odhadněte parametr α. Porovnejte hodnoty maximálně věrohodného a momentového odhadu. 

----
===== Řešení =====
__**Výsledek**__

$\hat{\alpha}=\frac{\mathit{n}}{\sum_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}\ln\mathit{X}_{\mathit{i}}-\mathit{n}\ln\mathit{\theta}};\;\mathit{\alpha}^+=\frac{\bar{X}}{\bar{X}-\mathit{\theta}};\;\hat{\alpha}=0,991;\;\mathit{\alpha}^+=1,485$

__**Postup**__

**i)**

$L(\alpha)=\prod^{n}_{i=1}\frac{\alpha\theta^{\alpha}}{x_i^{\alpha+1}}=\alpha^n\theta^{n\alpha}\prod^n_{i=1}\frac{1}{x_i^{\alpha+1}},$
$l(\alpha)=n\ln\alpha+n\alpha\ln\theta-\sum^n_{i=1}(\alpha+1)\ln x_i,$
$\frac{\partial l}{\partial\alpha}=\frac{n}{\alpha}+n\ln\theta-\sum^n_{i=1}\ln x_i\rightarrow$\\
$\hat{\alpha}=\frac{\mathit{n}}{\sum_{\mathit{i}=1}^{\mathit{n}}\ln\mathit{X}_{\mathit{i}}-\mathit{n}\ln\mathit{\theta}}$

**ii)**

$E(X)=\frac{\alpha\theta}{\alpha-1},\:\alpha>1$
$\bar{X}=\frac{\alpha^{+}\theta}{\alpha^+ -1}\rightarrow$
$\mathit{\alpha}^+=\frac{\bar{X}}{\bar{X}-\mathit{\theta}}$

**iii)**

$\theta=200,\:n=10,\:\bar{X}=612,\:\sum\ln X_i=63,074\rightarrow$\\
$\hat{\alpha}=0,991;\;\mathit{\alpha}^+=1,485$