===== Příklad - T1 ======

**Téma** : Bayesovská pravděpodobnost a statistika -> Věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec

**Předmět** : 4ST214

**Obtížnost** : Těžké příklady
----
===== Zadání =====
Z osudí, které obsahuje šest koulí bílých a šest koulí černých bylo vytaženo pět koulí a vloženo do jiného prázdného osudí. Z tohoto druhého osudí byly vytaženy tři koule a vloženy do dalšího prázdného osudí. Z tohoto třetího osudí byla vytažena jedna koule a bylo zjištěno, že je bílá. Vypočítejte pravděpodobnost, že všech pět koulí vytažených z prvního osudí bylo bílých.

//Zdroj: Arltová, M. − Bílková, D. − Jarošová, E. − Pourová, Z.: Sbírka příkladů ze statistiky (Statistika A). Praha, VŠE 1996.//


----
===== Řešení =====

__**Výsledek**__

0,015

__**Postup**__

**A** = (ze třetího osudí byla vytažena bílá koule)

**B<sub>0</sub>** = (z prvního osudí nebyla vytažena žádná bílá koule, pouze 5 koulí černých)

**B<sub>1</sub>** = (z prvního osudí byla vytažena 1 bílá koule a 4 černé koule)

**B<sub>2</sub>** = (z prvního osudí byly vytaženy 2 bílé koule a 3 černé koule)

**B<sub>3</sub>** = (z prvního osudí byly vytaženy 3 bílé koule a 2 černé koule)

**B<sub>4</sub>** = (z prvního osudí byly vytaženy 4 bílé koule a 1 černá koule)

**B<sub>5</sub>** = (z prvního osudí bylo vytaženo 5 koulí bílých a žádná černá koule)

{{:bayesovskapravdepodobnoststatistika:vetauplnepravdepodobnosti:vysledekbayest1vzorec.png?200|}}

{{:bayesovskapravdepodobnoststatistika:vetauplnepravdepodobnosti:vysledekbayest1vzorec1.png?200|}}

{{:bayesovskapravdepodobnoststatistika:vetauplnepravdepodobnosti:vysledekbayest1vzorec2.png?220|}}

Přemístit z druhého osudí, kde je celkem pět koulí, tři koule do třetího osudí a odtud jednu kouli vytáhnout lze {{:bayesovskapravdepodobnoststatistika:vetauplnepravdepodobnosti:vysledekbayest1vzorec3.png?45|}}  způsoby

** P(A|B<sub>0</sub>)**…podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí nebyla vytažena žádná bílá koule, nýbrž pouze pět koulí černých

 **P(A|B<sub>1</sub>)**…podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí byla vytažena jedna bílá koule a čtyři černé koule

 **P(A|B<sub>2</sub>)**…podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí byly vytaženy dvě bílé koule a tři černé koule

 **P(A|B<sub>3</sub>)**… podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí byly vytaženy tři bílé koule a dvě černé koule

 **P(A|B<sub>4</sub>)**… podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí byly vytaženy čtyři bílé koule a jedna černá koule

** P(A|B<sub>5</sub>)**…podmíněná pravděpodobnost, že ze třetího osudí bude vytažena bílá koule za podmínky, že z prvního osudí bylo vytaženo pět bílých koulí, a tedy žádná černá koule

 **P(A|B<sub>0</sub>)** = 0

 **P(A|B<sub>1</sub>)**
 
Aby mohla být ze třetího osudí vytažena bílá koule, musí se z druhého osudí do třetího osudí přemístit jedna bílá koule a dvě koule černé, což lze provést {{:bayesovskapravdepodobnoststatistika:vetauplnepravdepodobnosti:vysledekbayest1vzorec4.png?60|}} způsoby

Je-li ve třetím osudí jedna bílá koule, lze ji vytáhnout pouze jedním způsobem 

{{:bayesovskapravdepodobnoststatistika:vetauplnepravdepodobnosti:vysledekvetaouplnepravdepodobnostit1a.png?225|}}

**P(A|B<sub>2</sub>)**

Aby mohla být ze třetího osudí vytažena bílá koule, musí se z druhého osudí do třetího osudí přemístit buď jedna bílá koule a dvě černé koule nebo dvě bílé koule a jedna černá koule, jedná se tedy o {{:bayesovskapravdepodobnoststatistika:vetauplnepravdepodobnosti:vysledekbayest1vzorec6.png?120|}} způsobů

Je-li ve třetím osudí jedna bílá koule, lze ji vytáhnout pouze jedním způsobem, jsou-li ve třetím osudí dvě bílé koule, lze je vytáhnout dvěma způsoby

{{:bayesovskapravdepodobnoststatistika:vetauplnepravdepodobnosti:vysledekvetaouplnepravdepodobnostit1b.png?300|}} 

Obdobně

{{:bayesovskapravdepodobnoststatistika:vetauplnepravdepodobnosti:vysledekvetaouplnepravdepodobnostit1c.png?450|}}


Náhodné jevy B<sub>0</sub>, B<sub>1</sub>, B<sub>2</sub>, B<sub>3</sub>, B<sub>4</sub> a B<sub>5</sub> tvoří úplný systém neslučitelných (disjunktních jevů) a náhodný jev A může nastat pouze ve spojení právě s jedním z jevů B<sub>0</sub>, B<sub>1</sub>, B<sub>2</sub>, B<sub>3</sub>, B<sub>4</sub> a B<sub>5</sub> → Bayesův vzorec

{{:bayesovskapravdepodobnoststatistika:vetauplnepravdepodobnosti:vysledekvetaouplnepravdepodobnostit1d.png?475|}}